UNIDAD 1

BRAHIM Y MOHAMED

1 NÚMEROS IRRACIONALES

Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse.


Ejemplo: pi es un número irracional. El valor de Pi es

3,1415926535897932384626433832795 (y más...)

Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.

Números como 22/7 = 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.

Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción),






Pero si un número se puede escribir en forma de fracción se le llama número racional :


Ejemplo: 9,5 se puede escribir en forma de fracción así

19/2 = 9,5

así que no es irracional (es un número racional)

NúmerosEn fracción¿Racional o
irracional?

55/1Racional

1,757/4Racional

.0011/1000Racional

√2
(raíz cuadrada de 2)?¡Irracional!

- LA DIAGONAL DEL CUADRADO: EL NÚMERO √2

El teorema de Pitágoras nos proporciona el valor de la diagonal de un cuadrado de lado 1:



√2 es irracional por que no se puede poner como cocientes de dos números enteros.

-OTROS IRRACIONALES EXPRESADOS MEDIANTE RADICALES

-Por lo mismo que , si p no es cuadrado perfecto, la raíz de p es irracional

- El resultado de operar un número racional con uno irracional es irracional

( salvo la multiplicación por cero)

- EL NÚMERO DE ORO

  • Es hora de reconocer en nuestro uso diario de los números a uno muy especial, que aparece repetidamente en las conversaciones de matemáticas. Es el número de oro, (FI), también conocido como la proporción áurea. Es uno de los conceptos matemáticos que aparecen una y otra vez ligados a la naturaleza y el arte, compitiendo con PI en popularidad y aplicaciones.

  • Aunque no fue hasta el siglo XX cuando el número de oro (conocido también como sección áurea, proporción áurea o razón áurea) recibió su símbolo, (FI) (la sexta letra del abecedario griego, nuestra efe), su descubrimiento data de la época de la grecia clásica
    (s. V a.C.)
  • El valor numérico de es de 1,618... . es un número irracional como PI, es decir, un número decimal con infinitas cifras decimales sin que exista una secuencia de repetición que lo convierta en un número periódico.

- EL NUMERO π

  • Pi es uno de los pocos conceptos en las matemáticas, cuya mención evoca una respuesta de reconocimiento y el interés en aquellos que no se traten profesionalmente con el tema. Ha sido una parte de la cultura humana y la imaginación, estudiado durante más de veinticinco siglos.
  • π (pi) es la relación entre el perímetro de una circunferencia y la longitud de su diámetro, no es un número exacto, pertenece al conjunto de números irracionales, es decir, que tiene infinitos números decimales.
  • La primera referencia que se conoce de Pi es aproximadamente del año 1650 adC en el Papiro de Ahmes, es un documento escrito en un papiro de unos seis metros de longitud y 33 cm de anchura, Contiene problemas matemáticos básicos, fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica.
    El valor que se da de Pi es 28/34 ~ 3,1605.

    Una de las primeras aproximaciones fue la de Arquímedes en el año 250 adC que calculo que el valor estaba comprendido entre 3 10/71 y 3 1/7 (3,1408 y 3,1452) y empleo en sus estudios el valor 211875/67441 ~ 3,14163.

  • el numero π es un número irracional y por tanto tiene infinitas cifras decimales no periódicas

2 NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica que comprende a los números racionales y a los números irracionales. Esto quiere decir que incluyen a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a los números que no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que tengan como denominador a números no nulos (excluye al denominador cero).
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- LA RECTA REAL

La recta real es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos hacia la derecha y los negativos a la izquierda.

Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real, es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa.

Para su construcción se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica.

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-REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS SOBRE LA RECTA REAL

  • Los números racionales se pueden poner mediante una expresión decimal finita o periódica
  • Los números irracionales se expresan mediante infinitas cifras decimales no periódicas
  • ENTERO O DECIMAL. Si el número es entero o decimal exacto, se sitúa con toda facilidad
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  • Decimal periódico. Si el decimal periódico, puede expresarse con forma de fracción también se sitúa fácilmente
  • Si un número irracional es radical cuadrático o una combinación de ellos, se puede representar construyendo triángulos rectángulos
  • Si un número irracional viene dando por su expresión decimal, podemos representarlo de forma aproximada
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3 INTERVALOS Y SEMIRRECTAS

INTERVALO ABIERTO

Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.

Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

(a, b) = {x / a < x < b}

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INTERVALO CERRADO

Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

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INTERVALO SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA

Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x / a < x ≤ b}

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INTERVALO SEMIABIERTO POR LA DERECHA

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x / a ≤ x < b}

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SEMIRRECTAS Y RECTA REAL

En la recta real las semirrectas están determinadas por un número. En una semirrecta se encuentran todos los números mayores (o menores) que él.

x > a

(a, +∞) = {x / a < x < +∞}

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4 RAÍCES Y RADICALES

Se llama raíz n-ésima de un número a, y se escribe
, a un número b que elevado a na.

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ALGUNAS PECULIARIDADES DE LAS RAÍCES

, para cualquier valor del índice n

  • Si , existe cualquiera que sea el índice n.
  • Si , sólo existe si el índice n es impar.
  • Si el índice es par y el radicando A<0, la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto. Si el índice es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando

FORMA EXPONENCIAL DE LOS RADICALES

Un radical es equivalente a una potencia de exponente fraccionario en la que e el denominador de la fracción es el índice del radical y el numerador de la fracción es el exponente del radicando.
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5 POTENCIAS Y RAÍCES CON LA CALCULADORA

-POTENCIAS Y RAÍCES SENCILLAS:


DIVIDIR POTENCIAS DE LA MISMA BASE

Para dividir potencias que tengan la misma base, se restan los exponentes. Recuerda, para multiplicar se suman los exponentes, para dividir, se restan:

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RAÍCES DE INDICE CUALQUIERA

El orden depende mucho del indice, el radicando y la tecla depende mucho de la calculadora

6 PROPIEDADES DE LOS RADICALES

  • SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES:

Expresando los radicales en forma de potencia a veces se pueden simplificar

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  • REDUCCIÓN DE RADICALES A ÍNDICE COMÚN:

Si los expresamos con el mismo índice, es mucho mas sencillo se trata solamente de reducir a común denominador

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  • EXTRACCIÓN DE FACTORES FUERA DE LA RAÍZ:

Para simplificar algunos radicales, y para sumarlos y restarlos, a veces será necesario sacar factor fuera de la raíz

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  • PRODUCTO DE RADICALES DEL MISMO ÍNDICE
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  • SIMPLIFICACIÓN DE PRODUCTOS Y COCIENTES DE RADICALES
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  • POTENCIA DE UN RADICAL
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  • RAÍCES DE RAÍCES
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SUMA Y RESTA DE RADICALES

Podemos sumar y restar radicales solamente cuando estos tengan el mismo índice y contengan una misma base (subradical o radicando).
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RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES

Racionalizar el denominador" es cuando mueves una raíz (por ejemplo una raíz cuadrada o cúbica ) de la parte de abajo de una fracción a la de arriba

Para ponerla de la "forma más simple" no debería haber ningún número irracional en el denominador

Así que arreglarla (haciendo el denominador racional ) se llama "racionalizar el denominador"

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7 NÚMEROS APROXIMADOS. NOTACIÓN CIENTÍFICA

  • APROXIMACIONES: Existen varias maneras de aproximar un número para que contenga un número determinado de cifras significativas:
  • Aproximación por defecto o truncamiento. Se eliminan las cifras a partir de un determinado orden de magnitud.
  • Aproximación por exceso. Se eliminan las cifras a partir de un determinado orden de magnitud aumentando la última cifra que queda en 1.
  • Redondeo. Se eliminan las cifras a partir de un determinado orden y se aumenta la última cifra en 1 solo si la primera cifra eliminada era un 5 o una cifra mayor.
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  • ERRORES: Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
  1. Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.
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NOTACIÓN CIENTÍFICA

Para expresar un número en notación científica identificamos la coma decimal (si la hay) y la desplazamos hacia la izquierda si el número a convertir es mayor que 10, en cambio, si el número es menor que 1 (empieza con cero coma) la desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea necesario para que (en ambos casos) el único dígito que quede a la izquierda de la coma esté entre 1 y 9 y que todos los otros dígitos aparezcan a la derecha de la coma decimal.


732,5051 = 7,325051 • 102 (movimos la coma decimal 2 lugares hacia la izquierda)

−0,005612 = −5,612 • 10−3 (movimos la coma decimal 3 lugares hacia la derecha).


El exponente sirve para interpretar cómo de grande o de pequeño es el número