Замечательные точки треугольника

Теоретические сведения

1. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Тре­уголь­ник – это, пре­жде всего, три от­рез­ка и три угла, по­это­му свой­ства от­рез­ков и углов яв­ля­ют­ся ос­но­во­по­ла­га­ю­щи­ми.

Задан от­ре­зок АВ. У лю­бо­го от­рез­ка есть се­ре­ди­на, и через нее можно про­ве­сти пер­пен­ди­ку­ляр – обо­зна­чим его за р. Таким об­ра­зом, р – се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр.

Тео­ре­ма (ос­нов­ное свой­ство се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра)

Любая точка, ле­жа­щая на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре, рав­но­уда­ле­на от кон­цов от­рез­ка.

До­ка­зать, что

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и (см. Рис. 1). Они пря­мо­уголь­ные и рав­ные, т.к. имеют общий катет ОМ, а ка­те­ты АО и ОВ равны по усло­вию, таким об­ра­зом, имеем два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка, рав­ных по двум ка­те­там. От­сю­да сле­ду­ет, что ги­по­те­ну­зы тре­уголь­ни­ков тоже равны, то есть , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Big image

Рис. 1


Спра­вед­ли­ва об­рат­ная тео­ре­ма.

Тео­ре­ма

Каж­дая точка, рав­но­уда­лен­ная от кон­цов от­рез­ка, лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к этому от­рез­ку.

Задан от­ре­зок АВ, се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к нему р, точка М, рав­но­уда­лен­ная от кон­цов от­рез­ка (см. Рис. 2).

До­ка­зать, что точка М лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к от­рез­ку.

Big image

Рис. 2


До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим тре­уголь­ник . Он рав­но­бед­рен­ный, так как по усло­вию. Рас­смот­рим ме­ди­а­ну тре­уголь­ни­ка: точка О – се­ре­ди­на ос­но­ва­ния АВ, ОМ – ме­ди­а­на. Со­глас­но свой­ству рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная к его ос­но­ва­нию, яв­ля­ет­ся од­но­вре­мен­но вы­со­той и бис­сек­три­сой. От­сю­да сле­ду­ет, что . Но пря­мая р также пер­пен­ди­ку­ляр­на АВ. Мы знаем, что в точку О можно про­ве­сти един­ствен­ный пер­пен­ди­ку­ляр к от­рез­ку АВ, зна­чит, пря­мые ОМ и р сов­па­да­ют, от­сю­да сле­ду­ет, что точка М при­над­ле­жит пря­мой р, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Если необ­хо­ди­мо опи­сать окруж­ность около од­но­го от­рез­ка, это можно сде­лать, и таких окруж­но­стей бес­ко­неч­но много, но центр каж­дой из них будет ле­жать на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к от­рез­ку.

Го­во­рят, что се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр есть гео­мет­ри­че­ское место точек, рав­но­уда­лен­ных от кон­цов от­рез­ка.

Тре­уголь­ник со­сто­ит из трех от­рез­ков. Про­ве­дем к двум из них се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры и по­лу­чим точку О их пе­ре­се­че­ния (см. Рис. 3).

Точка О при­над­ле­жит се­ре­дин­но­му пер­пен­ди­ку­ля­ру к сто­роне ВС тре­уголь­ни­ка, зна­чит, она рав­но­уда­ле­на от его вер­шин В и С, обо­зна­чим это рас­сто­я­ние за R: .

Кроме того, точка О на­хо­дит­ся на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к от­рез­ку АВ, т.е. , вме­сте с тем , от­сю­да .

Таким об­ра­зом, точка О пе­ре­се­че­ния двух се­ре­дин­ных

Big image

Рис. 3


пер­пен­ди­ку­ля­ров тре­уголь­ни­ка рав­но­уда­ле­на от его вер­шин, а зна­чит, она лежит и на тре­тьем се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре.

Мы по­вто­ри­ли до­ка­за­тель­ство важ­ной тео­ре­мы.

2. Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника

Три се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ра тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке – цен­тре опи­сан­ной окруж­но­сти.

Итак, мы рас­смот­ре­ли первую за­ме­ча­тель­ную точку тре­уголь­ни­ка – точку пе­ре­се­че­ния его се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров.

Пе­рей­дем к свой­ству про­из­воль­но­го угла (см. Рис. 4).

Задан угол , его бис­сек­три­са AL, точка М лежит на бис­сек­три­се.

Big image

Рис. 4

3. Свойства биссектрисы угла

Если точка М лежит на бис­сек­три­се угла, то она рав­но­уда­ле­на от сто­рон угла, то есть рас­сто­я­ния от точки М до АС и до ВС сто­рон угла равны.

До­ка­за­тель­ство:

Рас­сто­я­ние от точки до пря­мой есть длина пер­пен­ди­ку­ля­ра. Про­ве­дем из точки М пер­пен­ди­ку­ля­ры МК к сто­роне АВ и МР к сто­роне АС.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и . Это пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки, и они равны, т.к. имеют общую ги­по­те­ну­зу АМ, а углы и равны, так как AL – бис­сек­три­са угла . Таким об­ра­зом, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу, от­сю­да сле­ду­ет, что , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать. Таким об­ра­зом, точка на бис­сек­три­се угла рав­но­уда­ле­на от сто­рон этого угла.

Спра­вед­ли­ва об­рат­ная тео­ре­ма.

Тео­ре­ма

Если точка рав­но­уда­ле­на от сто­рон нераз­вер­ну­то­го угла, то она лежит на его бис­сек­три­се (см. Рис. 5).

Задан нераз­вер­ну­тый угол , точка М, такая, что рас­сто­я­ние от нее до сто­рон угла оди­на­ко­вое.

До­ка­зать, что точка М лежит на бис­сек­три­се угла.

Big image

Рис. 5

До­ка­за­тель­ство:

Рас­сто­я­ние от точки до пря­мой есть длина пер­пен­ди­ку­ля­ра. Про­ве­дем из точки М пер­пен­ди­ку­ля­ры МК к сто­роне АВ и МР к сто­роне АС.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и . Это пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки, и они равны, т.к. имеют общую ги­по­те­ну­зу АМ, ка­те­ты МК и МР равны по усло­вию. Таким об­ра­зом, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки равны по ги­по­те­ну­зе и ка­те­ту. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство со­от­вет­ству­ю­щих эле­мен­тов, про­тив рав­ных ка­те­тов лежат рав­ные углы, таким об­ра­зом, , сле­до­ва­тель­но, точка М лежит на бис­сек­три­се дан­но­го угла.

Если необ­хо­ди­мо впи­сать в угол окруж­ность, это можно сде­лать, и таких окруж­но­стей бес­ко­неч­но много, но их цен­тры лежат на бис­сек­три­се дан­но­го угла.

Го­во­рят, что бис­сек­три­са есть гео­мет­ри­че­ское место точек, рав­но­уда­лен­ных от сто­рон угла.

Тре­уголь­ник со­сто­ит из трех углов. По­стро­им бис­сек­три­сы двух из них, по­лу­чим точку О их пе­ре­се­че­ния (см. Рис. 6).

Точка О лежит на бис­сек­три­се угла , зна­чит, она рав­но­уда­ле­на от его сто­рон АВ и ВС, обо­зна­чим рас­сто­я­ние за r: . Также точка О лежит на бис­сек­три­се угла , зна­чит, она рав­но­уда­ле­на от его сто­рон АС и ВС: , , от­сю­да .

Неслож­но за­ме­тить, что точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис рав­но­уда­ле­на от сто­рон тре­тье­го угла, а зна­чит, она лежит на

Big image

Рис. 6

бис­сек­три­се угла . Таким об­ра­зом, все три бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

Итак, мы вспом­ни­ли до­ка­за­тель­ство еще одной важ­ной тео­ре­мы.

4. Точка пересечения биссектрис треугольника

Бис­сек­три­сы углов тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке – цен­тре впи­сан­ной окруж­но­сти.

Итак, мы рас­смот­ре­ли вто­рую за­ме­ча­тель­ную точку тре­уголь­ни­ка – точку пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис.

Мы рас­смот­ре­ли бис­сек­три­су угла и от­ме­ти­ли ее важ­ные свой­ства: точки бис­сек­три­сы рав­но­уда­ле­ны от сто­рон угла, кроме того, от­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных к окруж­но­сти из одной точки, равны.

Вве­дем неко­то­рые обо­зна­че­ния (см. Рис. 7).

Обо­зна­чим рав­ные от­рез­ки ка­са­тель­ных через х, у и z. Сто­ро­на ВС, ле­жа­щая про­тив вер­ши­ны А, обо­зна­ча­ет­ся как а, ана­ло­гич­но АС как b, АВ как с.

Big image

Рис. 7

Вашему вниманию предоставляется краткий видеоурок
Точка пересечения биссектрис и точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника 1