Eksponencijalna funkcija-primjena
Dnevnik
O eksponencijalnoj funkciji
- Eksponencijalna funkcija definira se kao: f (x) = ax , pri čemu je baza a > 0 i a ≠ 1
- Eksponencijalna je funkcija definirana za svaki x∈ R (domena je cijeli skup R)
- Kada je baza a > 1, eksponencijalna funkcija je rastuća, a kada je baza 0 < a < 1, eksponencijalna funkcija pada.
Zbog čega je bitna za nas u životu?!
- Jako je bitna za sve nas upravo zbog toga što uz pomoć nje možemo rješavati razne probleme kako u raznim naukama tako i u ekonomiji.
Arhimed o eksponencijalnoj funkciji
Ima onih (...) koji misle da je broj zrnaca pijeska beskonačan (...) Ima i onih koji
ne misle da je beskonačan, ali da ne postoji dovoljno velik broj (...) Ali pokušat ću vam
pokazati brojeve koji ne samo da premašuju količinu pijeska jednaku onoj ispunjene
Zemlje (...), već i količinu veličinom jednaku svemiru.
ARHIMED (oko 287. - 212.g. pr. Krista)
Gdje sve nalazi primjenu
- BIOLOGIJI (rast neke populacije, npr. bakterija, virusa; demografska
kretanja, cijeljenje rana kao funkcija vremena)
- EKONOMIJI (složeno ukamaćivanje)
- FIZICI (Newtonov zakon hlađenja; promjena atmosferskog
tlaka s visinom,...)
- FORENZICI (određivanje vremena smrti)
Primjena u biologiji
- U biologiji je dobro poznato da mnoge populacije u početku svog razvoja pokazuju svojstva eksponencijalnog rasta. Ograničit ćemo se na model neograničenog rasta populacije koji podrazumijeva rast populacije koji nije ovisan o gustoći populacije.
- Dakle, u aproksimaciji neograničenog rasta populacije vrijedi vremenski kontinuirani eksponencijalni rast: N(t)= N0 x ert
gdje je N(t) broj jedinki u populaciji nakon vremena t,
N0 početna veličina populacije,
t vrijeme,
r individualna eksponencijalna stopa rasta,
- r>0 populacija raste eksponencijalno
- r<0 populacija se smanjuje i približava nuli
- r=0 populacija je konstantna
Primjer 1
Koliko treba vremena da se populacija udvostruči?
Rješenje: Za rješavanje nam je potrebna logaritamska funkcija.
N(t) = 2 ⋅N0 ; t = ?
2N0 = N0 x ert
2= ert
ln2 = rt
t= In2/r
Prognoze koje ovaj model daje mogu biti upotrebljive samo kroz vrlo kratko
razdoblje.
Eksponencijalni rast
Eksponencijalni rast svoju primjenu nalazi u:
- mikrobiologiji (rast bakterija)
- konzervacijskoj biologiji (upravljanje ugroženim populacijama)
- uzgoju organizama (prognoza priroda/prinosa)
- karanteni biljaka i kukaca (rast unešenih vrsta)
- ribarstvu (prognoza dinamike ribljih populacija)
- Thomas Malthus je 1798. u svom djelu Esej o principima stanovništvima ukazao na problematiku eksponencijalnog rasta ljudske populacije u odnosu na linearni rast resursa za preživljavanje. No, njegove je ideje korigirao belgijski matematičar Pierre-François Verhulst 1838. kada je izveo svoju logističku jednadžbu da bi opisao samoograničavajući rast bioloških populacija.
- N(t)= K/1+A*e-r0
pri čemu je K nosivi kapacitet sustava, a parametar K N se računa pomoću
maksimalnog kapaciteta K i početne populacije N0
Primjer 2
Širenje AIDS-a (i ostalih epidemija) također se može modelirati logističkom
funkcijom.
AIDS se širi gradom čija rizična populacija broji oko 50 000 osoba. U početnoj
fazi u gradu je 100 inficiranih osoba, a nakon 10 tjedana broj inficiranih popeo se na
1000. Nakon koliko će vremena biti inficirana polovica rizične populacije?
Rješenje:
K = 50 000; N0 = 100; N(t1) = 1000; t1= 10
A = (50 000 - 100)/100 = 499
Treba prvo riješiti jednadžbu 1000= 50000/ 1 499 e−10k, odakle se dobiva 1 + 499*e-10k = 50, tj. 499 ⋅ e-10k = 49. Odatle je e-10k = 0.0982, -10k = ln 0.0982 i konačno k = 0.23208
Model širenja AIDS-a u ovoj populaciji glasi N(t)= 50000/1+499*e-0,23208t.
Vrijeme potrebno da se inficira pola rizične populacije dobit ćemo rješavanjem jednadžbe: 25000=50000/1+499*e-0,23208t,što nas vodi na t = 26.8 tjedana.
Primjena u ekonomiji
- Još u doba babilonske algebre pojavili su se izrazi za računanje složenih kamata u obliku eksponencijalne funkcije. U današnje vrijeme, kada nam banke i njihove kamate u velikoj mjeri određuju svakodnevni život, dobro je biti upoznat s elementima financijske matematike.
Primjer 1
Zamislimo da u banku uložimo određeni iznos, glavnicu C0. Banka primjenjuje
kamatnu stopu p na godišnjoj razini. Ovisno o danim uvjetima, banka kamate može
pripisivati n puta u godini. Iznos kojim ulagač raspolaže nakon vremena t dan je
izrazom: C(t)= C0(1+p/n)nt.
Neka je početni ulog 100 000 km, a razdoblje kapitalizacije godišnje, polugodišnje,
kvartalno, mjesečno, dnevno, svakog sata, svake minute. Banka primjenjuje godišnju
kamatnu stopu od 4%. Štediša podiže novce nakon godine dana. C0 = 100 000 km.Po dobivenim rezultatima vidljivo je da je za ulagača povoljnija češća kapitalizacija.
2C0 = C0 e0,03t
2 = e0.03t
ln2 = 0.03t
t=In2/0,03
t=23,1godina
Nažalost, ekonomska kretanja posljednjih godina ne pokazuju ekonomski rast
nego pad, pa je vjerojatnije da ćemo trpjeti posljedice inflacije.
Neka je A0 početna cijena nekog proizvoda (usluge), a p godišnja
stopa inflacije. Tada je cijena tog istog proizvoda nakon t godina dana izrazom
A(t)=A0(1+p)t.Ukoliko je inflacija, kao u dolje navedenom primjeru, 3,9% , to znači da će cijena proizvoda koja je danas 1 kn (npr. papirnate maramice) za godinu dana biti 1.039 kn. Kada bi se zadržala ista stopa inflacije tijekom 5 godina, cijena istih maramica bi tada bila 1.0395 = 1.21 kn.
2A0=A0(1+p)t
2=(1+p)t
t=In2/In(1+p)
Primjena u fizici
- Promjena atmosferskog pritiska s visinom
- Svima je i iz iskustva poznato da se atmosferski pritisak m smanjuje, ali ne znaju svi da pritom slijedi eksponencijalnu ovisnost o visini. Dakle, statički atmosferski pritisak visini h određen je relacijom p(h)= p0*e-p0g/p0h
- Gdje su h – nadmorska visina; p0 – pritisak rentnom nivou (h = 0); g – akceleracija zemljine sile teže (g = 9.81 m/s2) ;ρ0 – gustoća zraka na referentnom nivou (h = 0)
Primjer 1
Primjer: Izračunajte pritisaku Marjana (h = 178 m) ako znamo da je u njegovom
podnožju, na obali mora p0=101 400 Pa, a ρ0= 1.16 kg/m3.
p=101400*e-1,16*9,81/101400*178
h=178m
P0=101400Pa
p0=1,16kg/m3
p(178m)=99394,53Pa
Primjena u forenzici
Tpoč = 26.5 °C
T(2) = 24.5 °C
T okoline= 20 °C; 24.5 = 20 + (26.5 − 20)⋅ e−k⋅2
4.5 = 6.5 ⋅ e−2k
0.6923 = e−2k
ln0.6923 = −2k
k = -In0,6923/2
k = 0.18387
Dakle, hlađenje tijela pri tim uvjetima slijedi zakonitost:
Dakle, hlađenje tijela pri tim uvjetima slijedi zakonitost:
T(t) 20+(36.5-20)*e-0.18387t
T(t)=20+16.5*e-0.18387t
Znajući dakle konačnu temperaturu trupla, možemo odrediti vrijeme smrti:
24.5=20+16.5*e-0.18387t
4.5=16.5*e-0.18387t
0.2727=e-0.18387t
ln0.2727 = −0.18387t
t = 7.07 h
Dakle, ubojstvo se dogodilo oko 7 sati prije pronalaska tijela.