Производная Функции

Производная (функции в точке) - основное понятие дифференциального исчисления , характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется КАК предел Отношения приращения функции К ЕЕ приращению аргумента ПРИ стремлении приращения аргумента К нулю , если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразнойинтегрирование.

Дифференцируемость Функций

Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.



Производные Высшего Порядка


Пусть y = f(x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде

Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f:

Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как


Для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие формулы:

В частности, для производной второго и третьего порядка формула Лейбница принимает вид
производная функции. Что это такое? Смысл производной
Пример вычисления производной по определению