MÚSICA

Proyecto de inteligencias múltiples: Lógico-matemática

Paradigmas de Mazzola

La primera quiere decir, en palabras, que las estructuras localmente triviales se pueden juntar en configuraciones estéticas válidas si éstas se pegan de una manera no trivial.


La segunda, las simetrías y (los fractales) son utilizadas en la composición, aparecen también en la Naturaleza y en la Matemática juegan un papel crucial como también en la Física.


En cuanto a la tercera: la Filosofía de Yoneda, en palabras dice que, para comprender un objeto, de vueltas alrededor de él. Esto quiere decir, entendimiento mediante el cambio de perspectivas. En Matemática, este Lema de Yoneda tiene importantes aplicaciones en el Álgebra Homológica, en la Topología Algebraica y en Geometría Algebraica solamente para mencionar algunas. Dice que un objeto matemático puede clasificarse salvo isomorfismo por su funtor. En Música, la partitura es solamente su primera vista y junto con todas sus interpretaciones constituyen su identidad. ¡Qué maravilloso punto de vista para ambos intérprete y audiencia. Deja de lado la estéril competencia fuera del arte y la ciencia, como si éstas fueran juegos olímpicos

La música en las matemáticas

Es común escuchar que “hay Matemática en la Música porque cuando se abre una partitura ésta está llena de numeros”, es decir,de los números del compás y las digitaciones.

Obviamente esta observación es muy simple. Se dice que hay Matemática en la

Música, que la Música y la Matemática están muy relacionadas:


  • Leibniz describe a la Música como "un ejercicio inconsciente en la Aritmética". Esta afirmación quizás se podría justificar sobre la base de que el músico intérprete cuenta los tiempos del compás cuando comienza a estudiar una obra pero después de un tiempo de tocarla, ya no está contando conscientemente sino que deja fluirla magia de la Música. Sin embargo casi todos los "elementos externos" de la Música se definen numéricamente: 12 notas por octava; compás de 3/4, 7/8,...; 5 líneas en el pentagrama; n decibeles; semitono de raíz duodécima de dos; altura de 440 hz; lo horizontal y lo vertical en la textura musical; arriba y abajo en la escala; etc.

  • En la Edad Media la Música estaba agrupada con la Aritmética, la Geometría y la Astronomía en el Cuadrivio. La Música no se consideraba un arte en el sentido moderno sino una ciencia aliada con la Matemática y la Física (la Acústica).

  • Es prácticamente desconocida la aplicación de algunos conceptos matemáticos a otros aspectos de la Música como son el análisis, los aspectos estéticos, la composición y la Teoría Matemática de la Música.


-Algunos matemáticos y músicos han aplicado conceptos matemáticos en la Música:


  • Mozart, en 1777, a los 21 años de edad, escribió un "Juego de Dados Musical, para escribir valses con la ayuda de dos dados sin ser músico ni saber nada de composición".

    Escribió 176 compases adecuadamente y los puso en dos tablas de 88 elementos cada una.

https://www.youtube.com/watch?v=YcQDmxCD-ns

Existieron y existen compositores que creen que ya todo está agotado con la armonía tradicional, y que por lo tanto hay que buscar un nuevo estilo de música. (. Aún en estos días, con computadoras y Combinatoria no se podría manejar una pequeña porción de motives musicales puesto que la cantidad de clases de isomorfismo es exorbitante.


  • Pitágoras (550 AC) explicó la Música como una expresión de esa armonía universal la cual también se realiza en la Aritmética y la Astronomía.


  • Platón reconoce la importancia del elemento matemático. Dice que si a cualquier arte se le quita la aritmética, la medida, y lo pesable, lo que queda no es mucho. También expresa que a través de la medida y la proporción siempre se llega a la belleza y a la excelencia.


  • Aristóteles expresa que están equivocados aquellos que claman
    que la Matemática no dice nada acerca de la belleza y la bondad, y
    que los elementos de la belleza son el orden, la simetría, la limitación definida y que éstas son las propiedades a las cuales la Matemática les pone atención.
    El punto de vista de la filosofía griega estaba inclinado a seleccionar la forma y la proporción como los elementos típicos de la belleza.
  • El matemático Luca Pacioli en su "De Divina Proporcione" de
    1509 considera la sección dorada, misma que utilizó su amigo
    Miguel Ángel y que posteriormente abordaremos.
    Durante el siglo XVII y principios del XVIII prevalecieron los
    conceptos de "ingenio" y "buen gusto". En éste último está
    implícito un esfuerzo de atención, luego un juicio estético intuitivo
    dependiendo del buen gusto y finalmente el análisis.
  • Leibniz pudo admitir las percepciones y juicios estéticos como
    parte del saber y definió la Música como el contar sin saber que se
    está contando. Esto último concuerda con el concepto de Birkhoff
    en el sentido de que la densidad de ciertas relaciones ordenadas
    entre las notas consideradas intuitivamente, miden el efecto estético. De Crousaz escribe, que el buen gusto nos hace apreciar,al principio, por sensaciones, aquello que la razón hubiera aprobado.
    Rameau observó que una nota musical está compuesta por un
    sonido fundamental y varias parciales, y que las notas que difieren
    por una octava son similares en cuanto a su efecto estético y
    pueden considerarse casi idénticas. Estos hechos conducen al
    entendimiento de la música occidental.
  • Fue d'Alembert quien dio una clara presentación del trabajo de
    Rameau (el cual es cualitativo, a diferencia del tratamiento
    cuantitativo de Birkhoff). Así, el grado de armonicidad es distinto
    del agrado o medida estética. Por ejemplo, el unísono y la octava
    son los más armoniosos de los intervalos pero no los más
    agradables.
  • Euler, en 1739, desarrolló una teoría de consonancia basada en la
    ley pitagórica. Entre más pequeños sean los números que expresan
    la relación de vibración de dos notas, éstas serán más consonantes.
    De ésta forma, Euler estableció un criterio de armonicidad de
    cualquier intervalo o acorde que concuerda con los hechos
    observados. Es interesante que Euler formulara una ley
    cuantitativa para la medida de la armonicidad. Así, el concepto
    general de Euler acerca de la naturaleza del goce estético concuerda completamente con el de Birkhoff, que en palabras de
    Helmholtz años después, establecían que entre más fácilmente
    percibamos el orden que caracteriza a los objetos contemplados,
    estos parecerán más simples y perfectos, y más fácil y
    gozosamente los reconoceremos. Un orden que cuesta trabajo
    descubrir, aunque ciertamente nos halague, asociará cierto grado
    de desgaste y tristeza.
  • Birkhoff aclara que su teoría carece de toda matemática excepto la
    simple enumeración y que su trabajo es un mero ensayo. En su
    trabajo desarrolla las bases psicológicas de su fórmula, la aplica a
    formas poligonales, a ornamentos y a vasos.
  • Para el caso de la medida estética de formas poligonales, Birkhoff
    considera la fórmula M=O/C=(V+E+R+HV-F)/C en donde V es la
    simetría vertical, E es el equilibrio, R es la simetría central, HV es
    la relación con una red horizontal-vertical, F es la forma no
    satisfactoria que incluye diversos factores y C es la complejidad.
    Cada variable asume valores dependiendo de varias condiciones,
    largas de enumerar en esta ocasión.
  • También aplica su fórmula a los acordes diatónicos, armonía y
    melodía así como a la calidad musical en la poesía.
    En el caso musical, su teoría está basada en las relaciones de orden
    entre las notas y puesto que la apreciación de tales relaciones
    continuamente cambia y se desarrolla, no trata de formar una
    teoría definitiva de la medida estética que sea válida para el futuro
    o el pasado. Más bien, considera que el problema principal de la
    forma musical es el de que dado un conjunto de recursos musicales
    debemos determinar hasta qué grado las relaciones de orden entre
    las notas de una composición constituyen una base eficiente de
    disfrute musical.
    Para el caso de acordes diatónicos la complejidad C se deja a un
    lado, puesto que un simple acorde es un objeto unitario y los
    únicos ajustes automáticos son ajustes incipientes a un sólo
    conjunto de notas y así la medida estética de un acorde será igual a
    su orden. Luego m=Cd+I+D donde m es la medida estética de un
    sólo acorde tomado en una tonalidad mayor por ejemplo, Cd
    denota el valor del acorde y se refiere a ciertas características que
    no cambian cuando sus notas superiores se mueven arriba o abajo
    por octavas, I es el valor del intervalo y D es el valor de la nota
    dominante. En cuanto a la sucesión de acordes, Birkhoff propone
    la fórmula M=m1+t+m2 donde m1 y m2 denotan las medidas
    estéticas de los acordes y t la de la transición.
  • También Birkhoff analiza el problema de la melodía y deja abierto
    el problema del ritmo. Su trabajo puede continuarse aún más y la
    utilización de la computadora sería de gran ayuda. Su intención
    fue la de proveer procedimientos sistemáticos de análisis en
    simples dominios de la Estética. Concluye que hay una enorme
    diferencia entre el descubrimiento de un diamante y su tasación;
    aún más, entre la creación de una obra de arte y un análisis de los
    factores formales que entran en ella.
  • En 1202 Leonardo de Pisa, escribió un libro llamado Liber Abacci. Esta contenía casi todo el conocimiento aritmético y algebraico de esa época y jugó un papel fundamental en el desarrollo de la matemática occidental, pues a través de él, los europeos se familiarizaron con el sistema numérico indo arábigo.

  • Bela Bartok, alrededor de 1915 desarrolló un método para integrar todos los elementos de la música (escalas, estructuras de acordes, proporciones de longitud, tanto de la obra en general como los de la exposición, desarrollo, reexposición, frases de conexión entre movimientos...) basado en la razón áurea. Los caldeos ya se habían propuesto utilizar la razón áurea como principio estético 3000 años A.C., los griegos la utilizaron 2000 años después y fue reutilizada en el renacimiento pero nunca en la Música.
https://www.youtube.com/watch?v=vsGDYcbANGg


-El círculo tonal de Bartok:


Considérese el círculo de tonalidades vecinas o círculo de quintas dado de la siguiente forma: hágase una correspondencia biunívoca entre las notas {do, do#, re, re#, mi,..., si } y los números 0, 1, 2,...,11, en ese orden; luego, considérese el grupo cíclico C12 generado por el 7 y ordénese este grupo en una circunferencia. Tomemos el do como la tónica T y asígnense las letras D, S y T sucesivamente a cada nota del círculo. D designará a la dominante y S a la subdominante. Así la será tónica con subdominante re y dominante mi, etc. Si unimos, mediante ejes, los puntos T, D y S, obtendremos los llamados ejes de las tónicas, de las dominantes y de las subdominantes. Deben de considerarse como una relación de tonalidades similar a la forma usual en la música de mayormenor.

En particular, existe una relación más adecuada entre los polos opuestos. Esta relación es el principio fundamental de la música de Bartok. Muchos ejemplos de su música siguen este principio.

Hay muchos ejemplos más. Cuando Bartok utiliza acordes en un movimiento cromático, coloca la tercera menor sobre la cuarta justa de tal forma que el acorde adquiere la forma 8:5:3 y considerando una tercera menor, superponiéndole una cuarta seguida de otra tercera menor se obtiene su acorde característico mayor-menor.

La sección áurea, no es una restricción externa sino una de las leyes más intrínsecas de la música como lo muestra la pentatonía, quizás el más antiguo de los sistemas de sonido del hombre y el cual puede considerarse como una expresión pura del principio de la sección áurea. Uno de los proyectos más interesantes que actualmente se desarrollan en este campo es la:

-Teoría Matemática de la Música de G. Mazzola:


Comenzó hace más dos décadas, la principal meta de esta es la de desarrollar un marco científico para la Musicología. Este marco posee como fundamento a campos científicos establecidos. Incluye un lenguaje formal para los objetos y relaciones musicales y musicológicas.

La Música está enraizada con realidades físicas, psicológicas y semióticas. Pero la descripción formal de las instancias musicales corresponde al formalismo matemático. Está basada en las Teorías de Módulos y Categorías, en la Topología Algebraica y Combinatoria, en la Geometría Algebraica, Teoría de Representaciones, esto es, en matemática de alto nivel. Su propósito es el de describir las estructuras musicales. La filosofía detrás de ella es la de comprender los aspectos de la Música que están sujetos al raciocinio de la misma manera en que la Física puede hacerlo de los fenómenos propios del trabajo científico. Esta teoría está basada: en un lenguaje adecuado para manejar los conceptos relevantes de las estructuras musicales, en un conjunto de postulados o teoremas con respecto a las estructuras musicales sujetas a las condiciones definidas y, en la funcionalidad para la composición y el análisis con o sin computadora.Guerino Mazzola, en un artículo, “Towards Big Science…” cita los elementos de Boulez de un programa de los años sesenta que tiene la intención de que las artes y la ciencia se reconcilien. Mazzola dice: “La Música es una creación central de la vida y pensamiento del ser humano. Que actúa en otra capa de la realidad que la Física. Creemos que el intento de comprender o de componer una obra de gran envergadura en la Música es tan importante y difícil como el intento de unificar la gravitación, el electromagnetismo, las fuerzas débiles y fuertes.” “De seguro, las ambiciones son comparables, y por lo tanto, las herramientas deben de ser comparables. Mazzola concuerda con Bolulez acerca de que “la Música no puede degenerar o reducirse a una sección de la Matemática: la Música esta fundamentalmente enraizada con las realidades físicas, psicológicas y semióticas. En los años ochenta, Mazzola observó que las estructuras musicales son estructuras globales pegadas con datos locales, utilizó la selección de una cubierta como atlas, la cual es parte del punto de vista en el sentido de Yoneda y Adorno. Las cartas se llaman composiciones locales y consisten (vagamente) de subconjuntos finitos K de módulos M sobre un anillo R. Estas cartas K se pegan y comparan mediante isomorfismos de los módulos subyacentes. Tales objetos globales, los cuales generan diferentes categorías se llaman composiciones globales. Éstos son los conceptos estudiados en lo que ahora se conoce como la Teoría Matemática Clásica de la Música.

Henry Poincaré

Fue un prestigioso polímata matemático, físico, ciéntifico teórico y filósofo de la ciencia, primo del presidente de Francia Raymond Poncaré. Poincaré es descrito a menudo como el último «universalista» (después de Gauss) capaz de entender y contribuir en todos los ámbitos de la disciplina matemática. En 1894 estableció elgrupo fundamental de un espacio topológico.



Poincaré escribe a principios del siglo XX, que una demostración matemática no es una simple yuxtaposición de silogismos, sino silogismos colocados con cierto orden y que el orden en que son colocados es mucho más importante que los silogismos por sí solos. Comenta que no tiene miedo de que alguno de éstos se le olvide pues cada uno de ellos tomará su lugar en el arreglo sin el menor esfuerzo. También describe el proceso de creación [M]: primero se realiza un trabajo consciente acerca del problema, después deja madurar esas ideas en el subconsciente, luego aparece la solución, quizás cuando menos se espera, y finalmente ésta se escribe.

Biblioteca Real de Alejandría

Fue la más grande del mundo. Situada en la ciudad egipcia de Alejandría, se estima que fue fundada a comienzos del siglo III a. C. por Ptolomeo I Sóter, y ampliada por su hijo Ptolomeo IIFiladelfo, llegando a albergar hasta 900.000 manuscritos. La nueva Biblioteca Alejandrina, rememorando la original y promovida por la Unesco, fue inaugurada el 16 de octubre de 2002[1]en la misma ciudad.


Los libros:


  • 200.000 volúmenes en la época de Ptolomeo I


  • 400.000 en la época de Ptolomeo II


  • 700.000 en el año 48 a. C., con Julio César


  • 900.000 cuando Marco Antonio ofreció 200.000 volúmenes a Cleopatra, traídos de la Biblioteca de Pérgamo.


Cada uno de estos volúmenes era un manuscrito que podía versar sobre temas diferentes. Se cree que allí estaban depositados tres volúmenes con el título de Historia del mundo, cuyo autor era un sacerdote babilónico llamado Beroso, y que el primer volumen narraba desde la creación hasta el diluvio, periodo que según él había durado 432.000 años, es decir, cien veces más que en la cronología que se cita en el Antiguo Testamento. Ese número permitió identificar el origen del saber de Beroso: la India (ver iuga). También se sabe que allí estaban depositadas más de cien obras del dramaturgo griego Sófocles, de las que sólo han perdurado siete.


En Alejandría estaban las bases del mundo actual.


No existe una respuesta sencilla pero lo que sí se sabe es que no hay noticia en toda la historia de la Biblioteca de que alguno de los ilustres científicos y estudiosos desafiara alguna vez seriamente los supuestos políticos, económicos y religiosos de su sociedad. Se puso en duda la existencia de las estrellas más no la injusticia de la esclavitud


La ciencia y la cultura estaban reservadas para unos cuantos privilegiados. La mayoría de la gente de la ciudad no tenía la menor idea de los grandes descubrimientos que tenían lugar dentro de la Biblioteca. Los nuevos descubrimientos no fueron explicados ni popularizados. La investigación les benefició poco. La ciencia nunca fascinó la imaginación de la multitud, no hubo contrapeso al estancamiento, al pesimismo, a la entrega más abyecta al misticismo. Cuando al final de todo, la gente se presentó para quemar la Biblioteca no había nadie capaz de detenerla. Hipatia, en una época en la que las mujeres disponían de pocas opciones y eran tratadas como objetos de propiedad, se movió libremente y sin afectación por los dominios tradicionalmente masculinos.

Hipatia

La Alejandría de la época de Hipatia era una ciudad que sufría grandes tensiones. La esclavitud había agotado la vitalidad de la civilización clásica, la creciente iglesia cristiana estaba consolidando su poder. Hipatia estaba sobre el epicentro de estas poderosas fuerzas sociales, hasta que un día cuando iba a trabajar cayó en manos de una turba fanática de feligreses de Cirilo, el arzobispo de Alejandría (el cual la despreciaba), la sacaron del carruaje, rompieron sus vestidos y, armados con conchas marinas la desollaron arrancándole la carne de los huesos. Sus restos fueron quemados, sus obras destruidas y su nombre olvidado. Cirilo fue proclamado santo.

James Joseph Sylvester

Fue un matemáticoinglésnacido en Londres en 1814. Profesor en las universidades de Londres, Baltimore y Oxford hizo importantes contribuciones en el campo de las matrices (acuñó los términos matriz,invariante,discriminantey totient,entre otros), teoría de las invariantes algebraicas(en colaboración con su colega A. Cayley), determinantes, teoría de números, particiones y combinatoria. Utilizando determinantes descubrió el método dialítico para eliminar una incógnita entre dos ecuaciones polinomiales) y creó un importante vocabulario matemático. Fue además fundador del American Journal of Mathematics.


El decía:


Recordemos que la ciencia y el arte son actividades esencialmente humanas. La Matemática es una de las "Bellas Artes" que posee el don de ser al mismo tiempo la más elaborada y sofisticada de todas las ciencias. Esta es una frase muy difícil de comprender para la mayoría de las personas. Sin embargo, la ciencia es una manera eficaz y elegante de comprender el universo. La ciencia se auto corrige. Nuestra vida y nuestro destino están indisolublemente ligados a la ciencia. Es esencial para nuestra simple supervivencia que comprendamos la ciencia. Para quien la comprende, la ciencia es un placer. Hemos evolucionado de tal modo que el hecho de comprender nos proporciona placer, porque el que comprende tiene mayores posibilidades de sobrevivir.


La Matemática, a diferencia de la Música, no es para espectadores. Es un lenguaje que, o bien se habla, o bien no se entiende absolutamente nada. No hay estadios de matemáticas para un gran público.


Una ventaja o desventaja, según se quiera ver, es que para la Matemática no existe un instrumento musical donde tocarla, ésta se queda a nivel de partitura, podría decir, que va directamente de pensamiento a pensamiento.